Algoritmo Heap Sort

Una de las aplicaciones de los Heaps o Montículos es el algoritmo HeapSort, el cual es uno de tantos que permite ordenar un conjunto "S" de datos en tiempo “linearítmico“ O(n logn). No es un algoritmo estable, es decir, no garantiza que los elementos tengan el mismo orden relativo después de la ordenación, pero a diferencia de otros algoritmos como Quicksort siempre garantiza O(n logn) como mejor, promedio o peor caso.

Una vez que se entiende la estructura de datos Heap el algoritmo es bastante sencillo y se basa en los siguientes pasos:

1. Construir un MaxHeap o MinHeap a partir de un arreglo.
2. Inicializar un ciclo desde I=heap.Length – 1 hasta I > 1 e Ir eliminando el tope (intercambiándolo con el último elemento I). Luego se verifica desde el primer nodo que se mantenga la propiedad del montículo (El mayor o menor elemento esté en el tope) esta operación generalmente se conoce como Heapify.

La explicación de eliminar del tope junto con Heapify puedes leerlas en mi post sobre Heaps o montículos, donde las explico con imágenes para que se entienda un poco mejor. Cabe destacar que para ordenar de manera creciente se utiliza un MaxHeap y para ordenar de manera decreciente un MinHeap. De igual manera, vale mencionar que la mayoría de las implementaciones de este algoritmo son en sitio, es decir, se modifica directamente el arreglo que se quiere ordenar.

Heaps o Montículos

Si tienes una carrera formal en computación, o alguna rama relacionada, probablemente habrás visto alguna clase de estructura de datos y recordarás los Heaps o -montículos en español- En caso de que no recuerdes, o no sabías que existían, en este post intentaré explicar de manera resumida esta interesante estructura de datos.

Las operaciones en los heaps son eficientes, la mayoría son O(logn). Los montículos se usan principalmente en el algoritmo Heapsort y en las Priority Queues (Colas de prioridades). Está representada por una estructura de tipo árbol y su característica principal es que el nodo padre -o raíz- siempre es mayor, o menor según sea el caso, que sus nodos hijos.

Los Heaps pueden ser MaxHeaps (El nodo padre es mayor que los hijos) o MinHeaps (El nodo padre siempre es menor que los hijos). La representación más usada son los Binary Heaps (montículos binarios) que tienen la estructura de un árbol binario. La forma más usada para almacenar los datos en esta estructura es un Array (dinámico por lo general), esto genera un árbol binario completo (todas las secciones deben estar balanceadas, con una posible excepción de la última) por lo que sabemos de antemano su forma y con simple aritmética podemos calcular los índices en el array de los nodos hijos a partir del padre y viceversa.

La imagen representa un MaxHeap, nótese como los nodos padres o raíz siempre son mayores a los hijos, y cada vez que se inserte un nuevo nodo o se elimine el nodo raíz se debe garantizar esta propiedad.

Algoritmo Quick Union

Algoritmo Quick Union
Al igual que Quick Find. El algoritmo Quick Union permite conectar nodos de un Árbol entre sí, la diferencia es que en Quick Find las referencias son con el nodo raíz, y Quick Union mantiene una referencia al nodo padre.

Quick Union
El algoritmo se basa en 3 funciones principales, una para encontrar el nodo raíz, otra para unir 2 nodos y una función para verificar si existe conexión entre 2 nodos. Toda la información sobre las conexiones entre nodos se almacenan en un arreglo.

Encontrar el nodo raíz
Para encontrar el nodo raíz basta con recorrer el arreglo dentro de un ciclo hasta que el valor del arreglo[i] sea igual al índice, lo cual quiere decir que alcanzamos la raíz, el algoritmo es de complejidad O(n) donde n = longitud necesaria para alcanzar la raíz, en pseudocódigo:

def find_root(int []array, int node):
    i = node
    while(array[i] != i):
        i = array[i]
    return i

Unir 2 nodos
Para unir 2 nodos "a y b" hay que establecer el nodo raíz de "b" en "a", es decir, hacer algo como:

def union(int []array, int node1, int node2):
    array[find_root(node1)] = find_root(node2)

Saber si 2 nodos están conectados
Sería verificar si los nodos tienen la misma raíz, la complejidad es O(n) al igual que la unión:

Algoritmo Quick Find

El curso de coursera “Algorithms, Part I” me vino excelente ya que este año quería mejorar mis conocimientos en algoritmos. El curso es totalmente gratuito y los vídeos son de altísimo nivel, muy recomendado.

La primera semana introduce un par de algoritmos de conectividad dinámica, son Quick Find y Quick Union. Estos algoritmos permiten conectar y verificar la conexión que existe entre nodos de una estructura de tipo Árbol, representada en un Array. Primero escribiré sobre Quick Find y en otro post sobre Quick Union, para no hacer los posts tan largos.

Quick Find

El algoritmo se basa en 2 funciones principales, Union y Find, Union permite conectar 2 nodos y Find permite verificar si dos nodos están conectados, directa o indirectamente, es decir a través de otros nodos.

Union

La unión permite conectar 2 nodos, la lógica es simple (complejidad O(n)), se basa en recorrer todo el arreglo dentro de un ciclo y establecer como raíz al nodo2 en todos los nodos que tengan como raíz al nodo1, para ello basta con verificar en cada paso si arreglo[i] == arreglo[nodo1], de ser verdadero, sustituir arreglo[i] con el valor del arreglo[nodo2]. De manera tal que todos tengan el mismo nodo raíz, en Pseudopython sería:

def union(int []array, int node1, int node2):
    temp = array[node1]
    for i to len(array):
        if array[i] == temp:
            array[i] = array[node2]

Find

Con find se verifica si dos nodos están conectados y es una operación muy rápida, O(1), creo que por eso el nombre del algoritmo “Quick Find”, basta con verificar si los nodos tienen comparten la misma raíz arreglo[nodo1]==arreglo[nodo2]

 
  Imagen tomada de uno de los vídeos del curso en Coursera

Por ejemplo, en la imagen los nodos 0 5 y 6 están conectados. En el arreglo el valor en la posición id[0] id[5] e id[6] es 0 ya que el id 0 es algo así como el nodo raíz y la forma de verificar si están conectados es que todos tengan el mismo valor.